Лемма Гензеля

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа $p$, то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю $p^{k}$, который может быть найден итеративным подъёмом по степеням $p$. Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).

Формулировка

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировка

Пусть $K$ — поле, полное относительно дискретного нормирования $v$, а ${\mathcal {O}}_{K}$ — кольцо целых поля $K$ (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть $\pi \in K$ — некоторый элемент $K$, такой что $v(\pi )=1$, обозначим соответствующее ему поле вычетов как $k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$. Пусть $f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$ — некоторый многочлен с коэффициентами из ${\mathcal {O}}_{K}$. Если у редуцированного многочлена ${\overline {f}}(X)\in k[X]$ есть простой корень (то есть, существует $k_{0}\in k$ такой что ${\overline {f}}(k_{0})=0$ и ${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$), то существует единственный $a\in {\mathcal {O}}_{K}$, такой что $f(a)=0$ и ${\overline {a}}=k_{0}$.

Альтернативная формулировка

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть $f(x)$ — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также $m$ и $k$ — целые числа, такие что $0<m\leq k$. Если $r$ — целое число, такое что

$f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{и}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},$

то существует целое число $s$, такое что

$f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{и}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.$

Более того, число $s$ определено однозначно по модулю $p^{k+m}$ и может быть выражено в явном виде как

$s=r-f(r)\cdot a,$

где $a$ — целое число, такое что

$a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m}}}.$

Следует заметить, что, в силу $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$, также выполнено условие $s\equiv r{\pmod {p^{k}}}$.

Пример

Рассмотрим уравнение $x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k}}}$, определяющее автоморфные числа длины $k$ в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

${\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}}\end{cases}}$

При $k=1$ решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на $0$, $1$, $5$ или $6$. Чтобы получить решения для больших $k$, можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что $f(x)=x^{2}-x$.

По приведённым выше формулам, переход от $p^{k}$ к $p^{k+m}$ для $m\leq k$ будет иметь следующий вид:

${\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p^{k+m}}}.}$

См. также

• Теорема Минковского — Хассе

Литература

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94269-8
• Milne, J. G. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7