Лемма Гензеля
Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа , то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю , который может быть найден итеративным подъёмом по степеням . Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).
Формулировка
[править | править код]Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.
Общая формулировка
[править | править код]Пусть — поле, полное относительно дискретного нормирования , а — кольцо целых поля (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть — некоторый элемент , такой что , обозначим соответствующее ему поле вычетов[англ.] как . Пусть — некоторый многочлен с коэффициентами из . Если у редуцированного многочлена есть простой корень (то есть, существует такой что и ), то существует единственный , такой что и [1].
Альтернативная формулировка
[править | править код]В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также и — целые числа, такие что . Если — целое число, такое что
то существует целое число , такое что
Более того, число определено однозначно по модулю и может быть выражено в явном виде как
где — целое число, такое что
Следует заметить, что, в силу , также выполнено условие .
Пример
[править | править код]Рассмотрим уравнение , определяющее автоморфные числа длины в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:
При решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на , , или . Чтобы получить решения для больших , можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что .
По приведённым выше формулам, переход от к для будет иметь следующий вид:
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Serge Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43
Литература
[править | править код]- Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94269-8
- Milne, J. G. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7